Informace pro studenty 1. ročníku FM o předmětu ULA.

1. Přednáška 4. října 2017

Matice
Definice matice. Elementární úpravy matice, relace ekvivalentní matice, souvislost s řešením soustav (viz 1. cvičení). Rovnost matic, sčítání a odčítání matic, násobení matice číslem. Násobení matic.

Přednáška.

Cvičení 2. října - 6. října 2017

Řešení soustav Gaussovou eliminační metodou. Různé varianty počtu řešení, popis nekonečně mnoha řešení za pomoci parametrů. Případně i soustava s parametrem.


2. Přednáška 9. října 2017

Inverzní matice
Gaussova eliminační metoda - zpětný chod. Souvislost mezi součinem matic a eliminací - permutační matice. Inverzní matice: definice a základní vlastnosti. Výpočet inverzní matice: Gaussova-Jordanova eliminace. Regulární a singulární matice.

Přednáška.

3. Přednáška 11. října 2017

Vektorový prostor
Pojmy grupa a těleso. Příklady nekonečných těles: Q, R a C, konečná tělesa Z_p. Vektorový (lineární) prostor nad tělesem, definice, základní vlastnosti. Příklady: aritmetické prostory. prostory matic, funkcí, polynomů (všech, stupně nejvýše n, proč ne stupně právě n).

Přednáška.

Zdroje: Olšák, kapitoly 1, 2 a 3

Cvičení 9. října - 13. října 2017

Počítání s maticemi.


4. Přednáška 18. října 2017

Lineární kombinace, závislost a nezávislost
Lineární kombinace, lineární závislost a nezávislost skupiny vektorů. Uzavřenost podmnožiny na sčítání a násobení konstantou, podprostor. Lineární obal.

Přednáška.

Zdroje: Olšák, kapitoly 1 a 2

Cvičení 16. října - 20. října 2017

Počítání s maticemi (i s prvky ze Z_p), zejména součin a inverze. Případně řešení jednoduchých maticových rovnic.


5. Přednáška 25. října 2017

Báze, dimenze souřadnice
Báze: definice, příklady, standardní báze aritmetických prostorů a prostorů polynomů. Dimenze: definice, vlastnosti. Souřadnice: definice, vlastnosti, příklady.

Přednáška.

Zdroje: Olšák, kapitoly 3 a 6 (pozor, zde matice přechodu funguje "obráceně")

Cvičení 23. října - 27. října 2017

Lineární kombinace, lineární závislost a nezávislost skupiny vektorů.


6. Přednáška 1. listopadu 2017

Matice přechodu
Matice přechodu definována tak, aby platilo: (matice přechodu z A do B) x (souřadnice vektoru v bázi A) = (souřadnice vektoru v bázi B). Příklady. Počítání s maticemi přechodu (více bází).

Přednáška.

Zdroje: Olšák, kapitoly 3 a 6 (pozor, zde matice přechodu funguje "obráceně")

Cvičení 30. října - 3. listopadu 2017

Báze, dimenze, souřadnice.


7. Přednáška 6. listopadu 2017

Determinant
Permutační definice determinantu, základní vlastnosti. Determinant trojúhelníkové matice a výpočet determinantu pomocí eliminace. Rozvoj determinantu podle řádku nebo sloupečku.

Přednáška.

8. Přednáška 8. listopadu 2017

Řešení soustav
Maticová definice soustavy. Princip eliminační metody. Řešitelnost soustav - Frobeniova věta. Řešení homogenní soustavy jako podprostor F^n. Nehomogenní soustava - přidružená homogenní soustava, partikulární řešení, řešení jako součet homogenního a partikulárního.

Přednáška.

Zdroje: Olšák, kapitoly 5 a 6

Cvičení 6. listopadu - 10. listopadu 2017

Báze, dimenze, souřadnice, matice přechodu, příklady 7, 8, 9, 16-19.


9. Přednáška 15. listopadu 2017

Soustavy lineárních rovnic
Soustavy se čtvercovou maticí, soustavy s regulární maticí: Cramerovo pravidlo. Trojúhelníkový (LU) rozklad a jeho využití pro řešení soustav.

Přednáška.

Zdroje: Olšák, kapitola 5

Cvičení 13. listopadu - 16. listopadu 2017

Matice přechodu. Determinant.


10. Přednáška 20. listopadu 2017

Lineární zobrazení
Definice zobrazení, zobrazení prosté, zobrazení na. Lineární zobrazení, aditivita, homogenita. Příklady. Obraz nulového vektoru. Matice lineárního zobrazení, její sestavení a použití: výpočet obrazu, výpočet vzoru. Příklady: matice derivace na prostoru polynomů.

Přednáška.

11. Přednáška 22. listopadu 2017

Matice lineárního zobrazení, jádro
Matice lineárního zobrazení, její sestavení a použití: výpočet obrazu, výpočet vzoru. Příklady: matice zobrazení na prostorech funkcí (derivace). Jádro lineárního zobrazení jako podprostor. Souvislost dimenze jádra a prostosti zobrazení. Matice identického zobrazení jako matice přechodu.

Přednáška.

Zdroje: Olšák, kapitoly 5 a 7

Cvičení 20. listopadu - 24. listopadu 2017

Determinant. Soustavy, Cramerovo pravidlo, LU rozklad.


12. Přednáška 29. listopadu 2017

Lineární zobrazení a geometrie
Geometrické úlohy v prostoru: průmět do roviny. Lineární zobrazení v rovině: otočení, osová souměrnost, zvětšení a protažení.

Přednáška.

Zdroje: Olšák, kapitola 7

Cvičení 27. listopadu - 1. prosince 2017

Lineární zobrazení, příklady 28-36.


13. Přednáška 6. prosince 2017

Vlastní čísla a vlastní vektory zobrazení resp. matice
Protažení - zpětná analýza matice. Vlastní čísla a vlastní vektory, definice, výpočet. Algebraická a geometrická násobnost vlastního čísla.

Přednáška.

Cvičení 4. prosince - 8. prosince 2017

Ještě lineární zobrazení, příklady 28-36. Vlastní čísla a vlastní vektory matic 2x2 a 3x3.


14. Přednáška 13. prosince 2017

Vlastní čísla a vlastní vektory matice
Vlastní čísla a vlastní vektory: příklad matice 3x3. Součet a součin vlastních čísel.

Přednáška.

Zdroje: Olšák, kapitola 7

Cvičení 11. prosince - 15. prosince 2017

Ještě lineární zobrazení, příklady 28-36. Vlastní čísla a vlastní vektory matic 2x2 a 3x3.


15. Přednáška 18. prosince 2017

Skalární součin
Definice, základní vlastnosti. Příklady skalárních součinů na aritmetických prostorech, prostorech funkcí. Velikost vektoru. Odchylka vektorů. Schwartzova nerovnost.

Přednáška.


16. Přednáška 20. prosince 2017

Gramův-Schmidtův algoritmus
Gramův-Schmidtův algoritmus. Příklad: ortonormální báze na prostoru polynomů st. nejvýše dva.

Přednáška.

Zdroje: Olšák, kapitola 8

Cvičení 18. prosince - 22. prosince 2017

Skalární součin: příklady 43, 44, 45 a skalární součin na prostoru funkcí.


17. Přednáška 3. ledna 2018

Lineární algebra v teorii kódování

Kód, kódové a nekódové slovo. Blokový kód. Lineární kód. Generující a kontrolní matice. Příklady.

Přednáška.

Cvičení 2. ledna - 5. ledna 2018

Závěr, co je potřeba.


18. Přednáška 10. ledna 2018

Lineární algebra v teorii kódování

Objevování a opravování chyb. Standardní dekódování. Hammingův kód a jeho dekódování.

Přednáška.

Cvičení 8. ledna - 12. ledna 2018

Závěrečné opakování.


Milan Cvrček
milan(tečka)cvrcek(zavináč)tul(tečka)cz
tel: 48-535-2873
budova G, 4. patro
Poštovní adresa: KAP TUL, Studentská 2, 461 17 Liberec

Valid XHTML 1.0 Transitional