1. Přednáška 19. září 2018
Matice
Definice matice. Elementární úpravy matice, relace ekvivalentní matice, souvislost s řešením soustav (viz 1. cvičení).
Rovnost matic, sčítání a odčítání matic, násobení matice číslem. Násobení matic.
Přednáška.
Cvičení 17. září - 21. září 2018
Řešení soustav Gaussovou eliminační metodou. Různé varianty počtu řešení, popis nekonečně mnoha řešení za pomoci parametrů.
Případně i soustava s parametrem.
2. Přednáška 24. září 2018
Inverzní matice
Gaussova eliminační metoda - zpětný chod. Souvislost mezi součinem matic a eliminací - permutační matice.
Inverzní matice: definice a základní vlastnosti. Výpočet inverzní matice: Gaussova-Jordanova eliminace.
Regulární a singulární matice.
Přednáška.
3. Přednáška 26. září 2018
Vektorový prostor
Pojmy grupa a těleso. Příklady nekonečných těles: Q, R a C, konečná tělesa Z_p.
Vektorový (lineární) prostor nad tělesem, definice, základní vlastnosti.
Příklady: aritmetické prostory. prostory matic, funkcí, polynomů (všech, stupně nejvýše n, proč ne stupně právě n).
Přednáška.
Zdroje: Olšák, kapitoly 1, 2 a 3
Cvičení 24. září - 28. září 2018
Počítání s maticemi.
4. Přednáška 3. října 2018
Lineární kombinace, závislost a nezávislost
Lineární kombinace, lineární závislost a nezávislost skupiny vektorů.
Uzavřenost podmnožiny na sčítání a násobení konstantou, podprostor. Lineární obal.
Přednáška.
Zdroje: Olšák, kapitoly 1 a 2
Cvičení 1. října - 5. října 2018
Počítání s maticemi (i s prvky ze Z_p), zejména součin a inverze. Případně řešení jednoduchých maticových rovnic.
5. Přednáška 8. října 2018
Báze, dimenze souřadnice
Báze: definice, příklady, standardní báze aritmetických prostorů a prostorů polynomů. Dimenze: definice, vlastnosti.
Souřadnice: definice, vlastnosti, příklady.
Přednáška.
Zdroje: Olšák, kapitoly 3 a 6
6. Přednáška 10. října 2018
Matice přechodu
Matice přechodu definována tak, aby platilo:
(matice přechodu z A do B) x (souřadnice vektoru v bázi A) = (souřadnice vektoru v bázi B). Příklady.
Počítání s maticemi přechodu (více bází).
Přednáška.
Zdroje: Olšák, kapitoly 3 a 6 (pozor, zde matice přechodu funguje "obráceně")
Cvičení 8. října - 12. října 2018
Lineární kombinace, lineární závislost a nezávislost skupiny vektorů.
7. Přednáška 15. října 2018
Determinant
Permutační definice determinantu, základní vlastnosti. Determinant trojúhelníkové matice a výpočet determinantu pomocí eliminace.
Rozvoj determinantu podle řádku nebo sloupečku.
Přednáška.
Zdroje: Olšák, kapitola 4
Cvičení 15. října - 19. října 2018
Báze, dimenze, souřadnice.
8. Přednáška 22. října 2018
Soustavy lineárních rovnic 1
Maticová definice soustavy. Princip eliminační metody. Řešitelnost soustav - Frobeniova věta. Řešení homogenní
soustavy jako podprostor F^n. Nehomogenní soustava - přidružená homogenní soustava, partikulární řešení,
řešení jako součet homogenního a partikulárního.
Přednáška.
9. Přednáška 24. října 2018
Soustavy lineárních rovnic 2
Soustavy se čtvercovou maticí, soustavy s regulární maticí: Cramerovo pravidlo.
Trojúhelníkový (LU) rozklad a jeho využití pro řešení soustav.
Přednáška.
Zdroje: Olšák, kapitoly 5 a 6
Cvičení 22. října - 26. října 2018
Báze, dimenze, souřadnice, matice přechodu, příklady 7, 8, 9, 16-19.
10. Přednáška 31. října 2018
Lineární zobrazení
Definice zobrazení, zobrazení prosté, zobrazení na. Lineární zobrazení, aditivita, homogenita. Příklady. Obraz nulového vektoru.
Matice lineárního zobrazení, její sestavení a použití: výpočet obrazu, výpočet vzoru. Příklady: matice derivace na
prostoru polynomů.
Přednáška.
Zdroje: Olšák, kapitola 5
Cvičení 29. října - 2. listopadu 2018
Matice přechodu. Determinant.
11. Přednáška 5. listopadu 2018
Matice lineárního zobrazení, jádro
Matice lineárního zobrazení, její sestavení a použití: výpočet obrazu, výpočet vzoru. Příklady: matice zobrazení na prostorech funkcí (derivace).
Jádro lineárního zobrazení jako podprostor. Souvislost dimenze jádra a prostosti zobrazení. Matice identického zobrazení jako matice přechodu.
Přednáška.
12. Přednáška 7. listopadu 2018
Lineární zobrazení a geometrie
Geometrické úlohy v prostoru: průmět do roviny.
Lineární zobrazení v rovině: otočení, zrcadlení, zvětšení a protažení.
Přednáška.
Zdroje: Olšák, kapitoly 5 a 7
Cvičení 5. listopadu - 9. listopadu 2018
Determinant. Soustavy, Cramerovo pravidlo, LU rozklad.
13. Přednáška 14. listopadu 2018
Vlastní čísla a vlastní vektory matice
Protažení - zpětná analýza matice. Vlastní čísla a vlastní vektory, definice, výpočet. Algebraická a geometrická násobnost vlastního čísla.
Přednáška.
Zdroje: Olšák, kapitola 7
Cvičení 12. listopadu - 16. listopadu 2018
Lineární zobrazení, příklady 28-36.
14. Přednáška 19. listopadu 2018
Vlastní čísla a vlastní vektory matice
Vlastní čísla a vlastní vektory: příklad matice 3x3.
Součet a součin vlastních čísel.
Přednáška.
Zdroje: Olšák, kapitola 7
15. Přednáška 21. listopadu 2018
Vlastní čísla, vlastní vektory
Vlastní čísla, vlastní vektory a diagonalizace. Exponenciála matice. Kuželosečka. Fibonacciho posloupnost.
Přednáška.
Cvičení 19. listopadu - 23. listopadu 2018
Ještě lineární zobrazení, příklady 28-36. Vlastní čísla a vlastní vektory matic 2x2 a 3x3.
16. Přednáška 28. listopadu 2018
Skalární součin
Definice, základní vlastnosti. Příklady skalárních součinů na aritmetických prostorech, prostorech funkcí. Velikost vektoru.
Odchylka vektorů. Schwartzova nerovnost.
Přednáška.
Zdroje: Olšák, kapitola 8
Cvičení 26. listopadu - 30. listopadu 2018
Ještě lineární zobrazení, příklady 28-36. Vlastní čísla a vlastní vektory matic 2x2 a 3x3.
17. Přednáška 3. prosince 2018
Gramův-Schmidtův algoritmus
Gramův-Schmidtův algoritmus. Příklad: ortonormální báze na prostoru polynomů st. nejvýše dva.
Přednáška.
18. Přednáška 5. prosince 2018
Ortogonální projekce
Ortogonální projekce jako nejlepší aproximace. Aproximace exponenciální funkce pomocí polynomů.
Přednáška.
Cvičení 3. prosince - 7. prosince 2018
Skalární součin: příklady 43, 44, 45 a skalární součin na prostoru funkcí.
19. Přednáška 12. prosince 2018
Lineární algebra v teorii kódování
Kód, kódové a nekódové slovo. Blokový kód. Lineární kód. Generující a kontrolní matice. Příklady.
Přednáška.
Cvičení 10. prosince - 12. prosince 2018
Skalární součin: příklady 43, 44, 45 a skalární součin na prostoru funkcí.
20. Přednáška 17. prosince 2018
Lineární algebra v teorii kódování
Objevování a opravování chyb. Standardní dekódování. Hammingův kód a jeho dekódování.
Přednáška.
21. Přednáška 19. prosince 2018
Závěrečné opakování
Cvičení 17. prosince - 21. prosince 2018
Závěr, co je potřeba.
milan(tečka)cvrcek(zavináč)tul(tečka)cz
tel: 48-535-2873
budova G, 4. patro
Poštovní adresa: KAP TUL, Studentská 2, 461 17 Liberec