Informace pro studenty 1. ročníku FM o předmětu ULA.

1. Přednáška 19. září 2018

Matice
Definice matice. Elementární úpravy matice, relace ekvivalentní matice, souvislost s řešením soustav (viz 1. cvičení). Rovnost matic, sčítání a odčítání matic, násobení matice číslem. Násobení matic.

Přednáška.

Cvičení 17. září - 21. září 2018

Řešení soustav Gaussovou eliminační metodou. Různé varianty počtu řešení, popis nekonečně mnoha řešení za pomoci parametrů. Případně i soustava s parametrem.


2. Přednáška 24. září 2018

Inverzní matice
Gaussova eliminační metoda - zpětný chod. Souvislost mezi součinem matic a eliminací - permutační matice. Inverzní matice: definice a základní vlastnosti. Výpočet inverzní matice: Gaussova-Jordanova eliminace. Regulární a singulární matice.

Přednáška.

3. Přednáška 26. září 2018

Vektorový prostor
Pojmy grupa a těleso. Příklady nekonečných těles: Q, R a C, konečná tělesa Z_p. Vektorový (lineární) prostor nad tělesem, definice, základní vlastnosti. Příklady: aritmetické prostory. prostory matic, funkcí, polynomů (všech, stupně nejvýše n, proč ne stupně právě n).

Přednáška.

Zdroje: Olšák, kapitoly 1, 2 a 3

Cvičení 24. září - 28. září 2018

Počítání s maticemi.


4. Přednáška 3. října 2018

Lineární kombinace, závislost a nezávislost
Lineární kombinace, lineární závislost a nezávislost skupiny vektorů. Uzavřenost podmnožiny na sčítání a násobení konstantou, podprostor. Lineární obal.

Přednáška.

Zdroje: Olšák, kapitoly 1 a 2

Cvičení 1. října - 5. října 2018

Počítání s maticemi (i s prvky ze Z_p), zejména součin a inverze. Případně řešení jednoduchých maticových rovnic.


5. Přednáška 8. října 2018

Báze, dimenze souřadnice
Báze: definice, příklady, standardní báze aritmetických prostorů a prostorů polynomů. Dimenze: definice, vlastnosti. Souřadnice: definice, vlastnosti, příklady.

Přednáška.

Zdroje: Olšák, kapitoly 3 a 6

6. Přednáška 10. října 2018

Matice přechodu
Matice přechodu definována tak, aby platilo: (matice přechodu z A do B) x (souřadnice vektoru v bázi A) = (souřadnice vektoru v bázi B). Příklady. Počítání s maticemi přechodu (více bází).

Přednáška.

Zdroje: Olšák, kapitoly 3 a 6 (pozor, zde matice přechodu funguje "obráceně")

Cvičení 8. října - 12. října 2018

Lineární kombinace, lineární závislost a nezávislost skupiny vektorů.


7. Přednáška 15. října 2018

Determinant
Permutační definice determinantu, základní vlastnosti. Determinant trojúhelníkové matice a výpočet determinantu pomocí eliminace. Rozvoj determinantu podle řádku nebo sloupečku.

Přednáška.

Zdroje: Olšák, kapitola 4

Cvičení 15. října - 19. října 2018

Báze, dimenze, souřadnice.


8. Přednáška 22. října 2018


Soustavy lineárních rovnic 1
Maticová definice soustavy. Princip eliminační metody. Řešitelnost soustav - Frobeniova věta. Řešení homogenní soustavy jako podprostor F^n. Nehomogenní soustava - přidružená homogenní soustava, partikulární řešení, řešení jako součet homogenního a partikulárního.

Přednáška.

9. Přednáška 24. října 2018

Soustavy lineárních rovnic 2
Soustavy se čtvercovou maticí, soustavy s regulární maticí: Cramerovo pravidlo. Trojúhelníkový (LU) rozklad a jeho využití pro řešení soustav.

Přednáška.

Zdroje: Olšák, kapitoly 5 a 6

Cvičení 22. října - 26. října 2018

Báze, dimenze, souřadnice, matice přechodu, příklady 7, 8, 9, 16-19.


10. Přednáška 31. října 2018

Lineární zobrazení
Definice zobrazení, zobrazení prosté, zobrazení na. Lineární zobrazení, aditivita, homogenita. Příklady. Obraz nulového vektoru. Matice lineárního zobrazení, její sestavení a použití: výpočet obrazu, výpočet vzoru. Příklady: matice derivace na prostoru polynomů.

Přednáška.

Zdroje: Olšák, kapitola 5

Cvičení 29. října - 2. listopadu 2018

Matice přechodu. Determinant.


11. Přednáška 5. listopadu 2018

Matice lineárního zobrazení, jádro
Matice lineárního zobrazení, její sestavení a použití: výpočet obrazu, výpočet vzoru. Příklady: matice zobrazení na prostorech funkcí (derivace). Jádro lineárního zobrazení jako podprostor. Souvislost dimenze jádra a prostosti zobrazení. Matice identického zobrazení jako matice přechodu.

Přednáška.

12. Přednáška 7. listopadu 2018

Lineární zobrazení a geometrie
Geometrické úlohy v prostoru: průmět do roviny. Lineární zobrazení v rovině: otočení, zrcadlení, zvětšení a protažení.

Přednáška.

Zdroje: Olšák, kapitoly 5 a 7

Cvičení 5. listopadu - 9. listopadu 2018

Determinant. Soustavy, Cramerovo pravidlo, LU rozklad.


13. Přednáška 14. listopadu 2018

Vlastní čísla a vlastní vektory matice
Protažení - zpětná analýza matice. Vlastní čísla a vlastní vektory, definice, výpočet. Algebraická a geometrická násobnost vlastního čísla.

Přednáška.

Zdroje: Olšák, kapitola 7

Cvičení 12. listopadu - 16. listopadu 2018

Lineární zobrazení, příklady 28-36.


14. Přednáška 19. listopadu 2018

Vlastní čísla a vlastní vektory matice
Vlastní čísla a vlastní vektory: příklad matice 3x3. Součet a součin vlastních čísel.

Přednáška.

Zdroje: Olšák, kapitola 7

15. Přednáška 21. listopadu 2018

Vlastní čísla, vlastní vektory
Vlastní čísla, vlastní vektory a diagonalizace. Exponenciála matice. Kuželosečka. Fibonacciho posloupnost.

Přednáška.

Cvičení 19. listopadu - 23. listopadu 2018

Ještě lineární zobrazení, příklady 28-36. Vlastní čísla a vlastní vektory matic 2x2 a 3x3.


16. Přednáška 28. listopadu 2018

Skalární součin
Definice, základní vlastnosti. Příklady skalárních součinů na aritmetických prostorech, prostorech funkcí. Velikost vektoru. Odchylka vektorů. Schwartzova nerovnost.

Přednáška.

Zdroje: Olšák, kapitola 8

Cvičení 26. listopadu - 30. listopadu 2018

Ještě lineární zobrazení, příklady 28-36. Vlastní čísla a vlastní vektory matic 2x2 a 3x3.


17. Přednáška 3. prosince 2018

Gramův-Schmidtův algoritmus
Gramův-Schmidtův algoritmus. Příklad: ortonormální báze na prostoru polynomů st. nejvýše dva.

Přednáška.

18. Přednáška 5. prosince 2018

Ortogonální projekce
Ortogonální projekce jako nejlepší aproximace. Aproximace exponenciální funkce pomocí polynomů.

Přednáška.

Cvičení 3. prosince - 7. prosince 2018

Skalární součin: příklady 43, 44, 45 a skalární součin na prostoru funkcí.


19. Přednáška 12. prosince 2018

Lineární algebra v teorii kódování

Kód, kódové a nekódové slovo. Blokový kód. Lineární kód. Generující a kontrolní matice. Příklady.

Přednáška.

Cvičení 10. prosince - 12. prosince 2018

Skalární součin: příklady 43, 44, 45 a skalární součin na prostoru funkcí.


20. Přednáška 17. prosince 2018

Lineární algebra v teorii kódování

Objevování a opravování chyb. Standardní dekódování. Hammingův kód a jeho dekódování.

Přednáška.

21. Přednáška 19. prosince 2018

Závěrečné opakování


Cvičení 17. prosince - 21. prosince 2018

Závěr, co je potřeba.


Milan Cvrček
milan(tečka)cvrcek(zavináč)tul(tečka)cz
tel: 48-535-2873
budova G, 4. patro
Poštovní adresa: KAP TUL, Studentská 2, 461 17 Liberec

Valid XHTML 1.0 Transitional